tiers exclu
Cet article est extrait de l'ouvrage Larousse « Dictionnaire de la philosophie ».
Philosophie Antique, Logique
Principe selon lequel deux énoncés ou propositions contradictoires ne peuvent pas être faux en même temps. En logique classique, il en résulte que c'est l'un ou l'autre des énoncés qui est vrai, et non pas un troisième. Il s'exprime par la formule latine : Tertium non datur (« le tiers n'est pas donné » ou « le tiers est exclu »), qui signifie qu'il n'y a pas d'autre possibilité que l'une des deux contradictoires. On symbolise le principe sous la forme : « A ou non-A ».
Le principe du tiers exclu se distingue du principe de contradiction selon lequel deux contradictoires ne peuvent pas être vraies en même temps (« non à la fois A et non-A »). Dans la logique bivalente classique, le tiers exclu est logiquement équivalent au principe de contradiction, même s'il ne lui est pas identique. Traditionnellement, il y a une certaine confusion entre le principe de contradiction et le principe du tiers exclu, par exemple chez Leibniz, qui écrit que « le principe de contradiction [...] porte que, de deux propositions contradictoires, l'une est vraie, l'autre fausse »(1). Il y a également une certaine confusion entre le principe du tiers exclu et le principe de bivalence, qui ne pose pas que, de deux propositions contradictoires, l'une est vraie et l'autre fausse, mais que chaque proposition est vraie ou fausse. Cette confusion tient au fait que le principe de bivalence (quoique formulé par les stoïciens dans l'Antiquité(2)) ne sera pas clairement distingué des deux autres avant Lukasiewicz, qui lui a donné ce nom en 1921(3). En fait, l'équivalence entre principe de contradiction et principe du tiers exclu résulte précisément du principe de bivalence : si chaque proposition est vraie ou fausse, deux propositions contradictoires ne sont ni vraies en même temps (principe de contradiction) ni fausses en même temps (principe du tiers exclu).
Le principe du tiers exclu remonte à Aristote, qui écrit : « Il n'est pas possible qu'il y ait aucun intermédiaire à l'intérieur de la contradiction, mais il est nécessaire d'affirmer ou de nier une seule chose d'une seule chose.(4) » On prend souvent comme exemple de tiers exclu le fameux exemple d'Aristote : « Demain il y aura une bataille navale ou il n'y aura pas de bataille navale », mais celui-ci sert plutôt à mettre en doute le principe de bivalence, car Aristote veut montrer que les futurs contingents ne sont ni vrais ni faux(5). Il semble bien qu'Aristote ait vu la situation ainsi : ces deux propositions ne sont pas fausses en même temps, l'une est vraie et l'autre fausse, mais laquelle, c'est ce qui est encore indéterminé. Or, dans le cadre d'une logique trivalente par exemple (toute proposition est vraie, fausse, ou indéterminée), deux propositions contradictoires A et non-A peuvent être indéterminées toutes les deux : dans ce cas, la formule « A ou non-A » est, elle aussi, indéterminée. Ce n'est donc plus un principe (c'est-à-dire une formule vraie et évidente par soi).
Jean-Baptiste Gourinat
Notes bibliographiques
- 1 ↑ Leibniz, G. W., Essais de théodicée, art. 44.
- 2 ↑ Cicéron, Du destin, 38 (= A.A. Long & D.N. Sedley, Les Philosophes hellénistiques, Paris, 2001, 34 C [t. II, p. 103]).
- 3 ↑ Lukasiewicz, J., « Logika dwuwartosciowa » (« La logique bivalente »), in Przeglad Filozoficzny, 1921, pp. 189-205.
- 4 ↑ Aristote, Métaphysique, IV, 7, 1011b23-24.
- 5 ↑ Aristote, De l'interprétation, 9. Cf. Cicéron, Académiques, II, 97 (= Long & Sedley, op. cit., 20 I [t. I, p. 220]), où la négation du même principe (de bivalence et non, comme on le croit souvent, du tiers exclu) est attribuée à Épicure.
- Voir aussi : Gourinat, J.-B., « Principe de contradiction, principe du tiers-exclu et principe de bivalence : philosophie première ou Organon ? », dans M. Bastit, J. Follon (éd.), Logique et Métaphysique dans l'Organon d'Aristote, Louvain, 2001, pp. 63-91.
Logique
Le tiers exclu s'écrit : A v ¬A. Longtemps considéré comme un principe fondamental du discours rationnel, il a maintenant statut de théorème dans les systèmes axiomatiques contemporains. Il est tributaire du principe de bivalence selon lequel toute proposition est susceptible d'être vraie ou fausse. Or un tel principe ne fait plus l'unanimité : les logiques trivalentes admettent un tiers entre vrai et faux (indéterminé, ni vrai ni faux, etc.). Les logiques plurivalentes étendent ce tiers à n valeurs intermédiaires. Les logique floues introduisent une gradation du vrai au faux.
À ces différentes extensions s'ajoute une contestation directe du tiers exclu par la logique intuitionniste de Brouwer. Cette logique constitue un système de preuves constructives : vrai signifie prouvé vrai, son contradictoire n'est plus prouvé faux, mais non prouvé vrai. Distinguant alors trois cas : A, ¬A et ¬¬A, on ne peut plus recourir à la réduction par l'absurde : ¬¬A → A. Pour établir A, il faut en fournir une preuve effective, ce qui n'est pas toujours possible lorsqu'on travaille sur des ensembles infinis. Dès lors, l'usage du tiers exclu se trouve restreint aux seuls cas où l'on dispose d'une procédure algorithmique de décision.
Denis Vernant
→ absurde (raisonnement par l'), flou (logique du), intuitionnisme, logique multivalente