axiomatique

Méthode de construction des sciences qui n'utilise qu'un ensemble d'axiomes, certains de ces derniers exposant la logique de la marche à suivre. (C'est en comparant les résultats prédits et l'expérience que l'on garde ou modifie les axiomes de départ.)

PHILOSOPHIE

Le terme « axiomatique » s'entend en deux sens. C'est d'abord une axiomatique : système formel constitué d'un ensemble d'énoncés admis sans démonstration (axiomes ou postulats), suivi d'un nombre fini de règles de déduction. C'est ensuite la méthode axiomatique : le mode d'écriture et la forme de pensée sous lesquels les sciences exactes veulent parfois se présenter.

Dans les deux cas, une exigence sous-jacente est à l'œuvre : l'implicite, le non-dit, l'allusif, voire le bon sens doivent être proscrits de toute théorie. Celle-ci doit exhiber clairement ses propositions premières non démontrées (axiomes) ainsi que les règles de déduction qu'elle emploie, et cela de façon exhaustive. L'exhaustivité est une obligation générale des systèmes formels : ils contiennent tous une règle dite règle de fermeture, qui énonce simplement qu'aucune proposition, aucun énoncé ne peut apparaître valablement s'il n'est déduit des axiomes grâce aux règles de déduction présentes dans la théorie.

Historiquement, les axiomatiques apparaissent toujours après des périodes appelées tératologiques, où une science a, correctement mais malgré elle, produit des « monstres » : objets rigoureusement issus de théorèmes communément admis, mais heurtant le bon sens. Lorsque l'irrationalité de la diagonale du carré fut découverte par des mathématiciens grecs qui tenaient pour acquis que tout objet du monde devait se décrire par un nombre entier ou rationnel (les pythagoriciens), apparut dans la mathématique naissante un conflit entre le savoir et le bon sens : racine de 2 était un monstre. Les Éléments d'Euclide (iii^e siècle avant J.-C..), longtemps considérés comme un modèle d'axiomatique, vinrent « mettre à plat » le savoir de l'époque et redéfinir pour près de vingt-deux siècles les fondements de la science mathématique. Beaucoup de ce que nous considérons comme fondamental dans une théorie axiomatisée y figure : les axiomes, les notions communes (axiomes de la logique), les formes de la déduction héritées d'Aristote, jusqu'à cette sorte d'hésitation qui lui fit nommer postulats des axiomes dont l'avenir montrera tout l'aspect problématique. Archimède, dans son étude des lois de l'équilibre des leviers, fit sienne cette méthode.

Crise de la rigueur

La seconde période tératologique survint au xix^e siècle : on vit apparaître des objets inadmissibles comme la courbe discontinue dérivable en tout point ou la courbe passant par tous les points d'un plan (Hilbert). Si certains résultats de la géométrie projective posèrent problème, c'est surtout l'invention des géométries non euclidiennes, heurtant fortement le bon sens tel que le concevait Descartes, qui imposa l'exigence d'une méthode axiomatique. À l'idée d'explicite proposée par Euclide se surajouta celle d'abstraction de l'objet formel. Les axiomes et règles de déduction doivent être dépouillés de tout contenu réel et de toute signification particulière. La géométrie peut se faire « avec des tables, des chaises et des verres à bière », disait Hilbert. Seules comptent les relations que les objets entretiennent entre eux : c'est sur ces relations que portent les axiomes. Explicite et abstraction formelle ont amené les mathématiques à repenser leurs fondements : sur quoi fallait-il faire reposer l'édifice pour en chasser définitivement les monstres ?

La présence nécessaire à l'intérieur de toute théorie de lois de déduction issues de la logique est à l'origine du logicisme (Boole, Frege, Russell) : le fondement des théories serait « externe », et la logique serait la racine des mathématiques ; elle seule ne possède aucun contenu intuitif, manipule des objets vides et des énoncés non interprétés qui ne peuvent donc pas entrer en conflit avec le sens commun. Le logicisme, considéré comme réductionnisme, eut le mérite de permettre de définir très exactement ce qu'était un système formel liant ainsi définitivement entre eux les termes d'axiomatisation et de formalisation d'une théorie. Celle-ci devient alors théorie formelle ou système formel.

Création du système formel

Un système formel se constitue en quatre étapes.
– Dresser la liste exhaustive (finie ou dénombrable) de tous les symboles qui peuvent apparaître dans une théorie : une suite finie de symboles sera appelée une expression ou mot du langage.
– Définir des règles de bonne formation des mots qui constitueront le vocabulaire de cette théorie. Les mots bien formés seront nommés formules : ce sont les propositions (vraies ou fausses) de la théorie. Ces règles de bonne formation sont d'ordinaire récursives et il existe généralement un algorithme permettant de décider si une expression est ou non une formule. Il faut leur adjoindre la règle générale de tout système formel, la règle de fermeture, qui affirme qu'aucune formule ne peut exister si elle n'est pas issue des règles précédentes. Ces deux premières étapes définissent la phase de formalisation, qui est suivie par la phase d'axiomatisation.
– Sélectionner parmi l'ensemble des expressions bien formées un sous-ensemble de formules appelées axiomes du système, énoncés « réputés vrais » pour la théorie et admis sans démonstration. Le choix de ces formules est de la seule liberté de l'inventeur de la théorie, qui ne reconnaît aucune instance supérieure à lui pour limiter son choix.
– Définir une liste finie de relations nommées règles d'inférence ou règles de déduction, qui sont normalement celles de la logique mathématique. Là encore, il ne faut pas oublier la règle de fermeture.

Après ces quatre étapes, la théorie possède pour énoncés admissibles les seuls axiomes. On appelle démonstration une suite finie de formules telle que chacune est soit un axiome, soit la conséquence d'une formule précédente par application d'une règle de déduction. La dernière formule (qui n'est pas un axiome) d'une démonstration est un théorème : autrement dit, un théorème est une formule pour laquelle il existe une démonstration. Un des problèmes fondamentaux des théories axiomatisées consiste à se demander s'il existe un algorithme permettant de décider, pour toute formule du système, si elle est ou non un théorème. Si cet algorithme existe, la formule est dite décidable ; sinon, elle est indécidable. Les mêmes mots s'appliquent à la théorie qui contient la formule.

Les grandes axiomatiques

Les axiomatiques les plus connues sont celle de Giuseppe Peano sur la théorie des nombres entiers, celle de David Hilbert sur la géométrie élémentaire (Grundlagen der Geometrie, 1899) et celle de Andreï N. Kolmogorov (1933) sur la théorie des probabilités. Les axiomatiques de Peano et Hilbert sont encore des « théories-de » (la géométrie, l'arithmétique…) ; elles prennent racine dans des savoirs existants qu'elles formalisent. Mais le mouvement axiomatique s'accentue jusqu'à proposer des systèmes formels sans référent théorique préalable. C'est ainsi qu'une notion classique de la pensée mathématique s'étiole jusqu'à disparaître : la vérité. Le divorce entre le savoir et l'intuition rend les axiomes « libres » : ils ne sont donc pas vrais au sens cartésien du terme, mais ils s'apparentent plus à des hypothèses générales. Issue de ces axiomes, la théorie elle-même n'est plus vraie mais seulement valide, et l'on exige d'elle deux propriétés nécessaires et suffisantes : la consistance (non-contradiction) et l'indépendance de ses axiomes. La non-contradiction est alors la seule garantie de validité de la théorie, qui ne peut produire deux énoncés dont l'un est la négation de l'autre, sous peine de produire alors n'importe quel théorème (y compris celui qui affirme que la théorie est fausse). Les axiomes doivent être indépendants : si un axiome se déduit d'un autre axiome, alors il perd son statut et devient un théorème.

La décidabilité est également une propriété des théories formelles, mais elle n'est sûrement pas nécessaire. De 1931 à 1936, Kurt Gödel pour l'arithmétique ordinaire, Alonzo Church pour la logique des prédicats et Alan M. Turing pour les fonctions non récursives montrèrent le caractère non décidable de ces théories réputées simples et fondamentales. L'énoncé qui affirme la non-contradiction de la théorie ne peut être ni démontré ni infirmé. Alfred Tarski généralisa ces résultats (1936), en montrant que ce type d'énoncé ne peut être un théorème à l'intérieur d'une théorie, mais que sa démonstration réclame une théorie plus forte (c'est-à-dire possédant au moins un axiome de plus).

Les objets mathématiques

La notion de « théorie-de » fait alors place à celle de modèle. L'axiomatique et son système formel existent en soi et sont créés pour leur logique interne sans rapport aucun avec des objets. Une théorie qui s'abriterait à l'intérieur de ce formalisme en deviendrait un modèle. S'il s'agit d'une théorie physique, un résultat négatif issu d'expérimentations n'infirmera aucunement l'axiomatique ; simplement, d'autres axiomes devront être choisis pour que la théorie physique en devienne un bon modèle.

La théorie des modèles est le dernier développement des axiomatiques modernes. Mais, parce que les formalismes axiomatiques ont détruit le concept de vérité, ils ont entraîné les mathématiques vers d'autres débats. À vouloir raisonner sur les objets quelconques, à ne prendre en compte que des propriétés dénuées d'intuition, les formalismes se sont totalement détachés de la réalité et sont devenus un jeu sans rapport avec les sciences appliquées. Quelle est l'existence d'un objet mathématique ? Suffit-il de démontrer son existence pour qu'il ait droit de cité ou bien faut-il réellement le construire ? Les formalistes diront que les mathématiques n'ont jamais eu de rapport avec le réel : « Trois arbres, cela existe, mais le nombre trois ? » Inversement, les constructivistes (Brouwer) exigeront une méthode algorithmique pour admettre l'existence de nombres transcendants. Suffit-il que la non-contradiction d'un objet soit démontrée pour que son existence soit établie et peut-on tenir des raisonnements corrects sur des objets non existants ? Puis-je raisonner sur « la calvitie de l'actuel roi de France » ? se demandait Bertrand Russell.

L'objection à la méthode axiomatique réside essentiellement dans son caractère appauvrissant : le « ciel » où Cantor situe les mathématiques les éloigne de nos préoccupations quotidiennes et l'incompréhension qui accompagna les mathématiques ensemblistes dans le système éducatif en France en est un des multiples symptômes. Mais les constructivistes n'apportent rien de plus. La véritable question est finalement épistémologique : une science fortement impliquée dans le développement social peut-elle demeurer longtemps détachée de ce qu'une société considère comme étant « le réel » ? Mais, aussi et inversement, une science peut-elle demeurer libre ?