Expressions avec haut

À son plus haut,

au degré, au niveau le plus élevé : La Seine sera à son plus haut demain.

Avoir des hauts et des bas,

une succession de moments où les choses vont mal.

complètement, de la partie la plus élevée à la partie la plus basse.

indique, après l'indication d'une mesure, la dimension en hauteur.

du ciel ; d'une autorité supérieure : L'ordre venait d'en haut.

au sommet, à un niveau plus élevé de quelque chose : Grimper en haut d'un arbre.

parler avec hauteur, fierté.

considérer les choses avec sérénité, sans en être touché, ou bien d'une manière superficielle.

considérer avec dédain, mépris.

être très déçu ou très surpris.

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ORTHOGRAPHE

Haut, adverbe, est invariable : les hirondelles volent haut ; ils parlent haut ; des personnes haut placées.
EMPLOI

De haut en bas / du haut en bas. De haut en bas n'est jamais suivi d'un complément (* de haut en bas du mur), contrairement à du haut en bas : du haut en bas du mur, le crépi est à reprendre.
De haut en bas doit en général être compris au sens figuré dans la locution regarder quelqu'un de haut en bas (= le considérer avec condescendance, avec mépris). - Du haut en bas peut être pris au sens concret (visiter une maison du haut en bas) ou au sens figuré (du haut en bas de la hiérarchie).

En haut / au haut. En haut (= en un lieu plus élevé, au-dessus) est usuel : il loge en haut ; passez par en haut. Au haut (= au sommet) est littéraire et vieilli : « Le coche arrive au haut » (La Fontaine). « Certain renard [...] vit au haut d'une treille [...] » (La Fontaine).
En haut employé avec monter. Éviter le pléonasme *monter en haut.
En revanche, monter en haut de l'échelle, monter plus haut, monter très haut, etc., sont corrects.