non standard (modèle)

Cet article est extrait de l'ouvrage Larousse « Dictionnaire de la philosophie ».

Logique

Modèle qui n'est pas le même (à un isomorphisme près) que le modèle attendu d'une théorie ; ainsi, l'arithmétique du premier ordre comporte des modèles non standards, qui diffèrent substantiellement du modèle attendu ou « naturel » de cette théorie, à savoir la structure familière des entiers naturels. En revanche, l'arithmétique du second ordre, dans laquelle on s'autorise la quantification sur les ensembles d'éléments, est une théorie catégorique, qui n'a que des modèles standards.

L'existence de modèles non standards de l'arithmétique du premier ordre, qui est une conséquence directe des résultats d'incomplétude de Gödel, a été notée dès le début des années 1930 : toute théorie arithmétique de ce genre comporte, outre le modèle familier, des modèles « déviants », dans lesquels la progression des entiers usuels 0, 1, etc., est « suivie » par des entiers non standards, qui ne peuvent être obtenus à partir de 0 par itération finie de l'opération « successeur ». L'existence de tels modèles est généralement interprétée comme un signe des « limites » de la formalisation : toute axiomatisation élémentaire de l'arithmétique est satisfaite par d'autres structures encore que celle qu'elle entend décrire.

Jacques Dubucs

→ arithmétique, catégoricité, formalisation, Gödel (théorème de), logique, Löwenheim-Skolem (théorème de), modèle