arithmétique
Cet article est extrait de l'ouvrage Larousse « Dictionnaire de la philosophie ».
Du grec arithmos, « nombre ».
Logique, Philosophie Cognitive
1. Théorie de l'ensemble des nombres entiers naturels (0, 1, 2, ...), muni de l'addition, de la multiplication ou des deux opérations. – 2. On parle aussi d'arithmétique à propos de la théorie des cardinaux transfinis, ainsi que de diverses extensions des entiers naturels, pour autant que les concepts de limite et de continuité n'y soient pas impliqués.
Bien que l'arithmétique soit sans doute la discipline mathématique la plus anciennement attestée (selon l'opinion attribuée à Pythagore(1), le monde consiste en nombres entiers et en relations entre de tels nombres), il faut attendre le xixe s. pour que les fondements en soient examinés, et que l'addition et la multiplication des entiers naturels soient caractérisées autrement que par un simple appel à l'intuition. Ces recherches, où s'illustre notamment Dedekind(2), aboutissent à l'axiomatique proposée par Peano(3) en 1889, laquelle contient, en particulier, l'énoncé du principe de récurrence : si une propriété est satisfaite par zéro, et si elle est satisfaite par le successeur de tout nombre qui la satisfait, alors elle est satisfaite par tout nombre. Par ailleurs, Frege entreprend à la même époque une réduction « logiciste » de cette discipline, selon laquelle « l'arithmétique serait [...] une logique développée, et chaque proposition arithmétique une loi logique, bien que dérivée »(4). L'ouvrage dans lequel cette « réduction » est minutieusement exposée contient malheureusement un axiome, la « Loi V »(5), dont Russell a montré, dans une lettre fameuse adressée à Frege(6), qu'il conduisait à une contradiction : le « paradoxe de Russell ».
Jacques Dubucs
Notes bibliographiques
- 1 ↑ Aristote, Métaphysique, A5, 985 b23 sq, trad. J. Tricot, vol. I, p. 41, J. Vrin, Paris, 1970.
- 2 ↑ Dedekind, R., Les nombres, que sont-ils et à quoi servent-ils ?, trad. J. Milner et H. Sinaceur, Ornicar, Paris, 1978.
- 3 ↑ Peano, G., Arithmetices principia, novo methodo exposita, Turin, 1889.
- 4 ↑ Frege, G., les Fondements de l'arithmétique, trad. Imbert, p. 211, Seuil, Paris, 1969.
- 5 ↑ Frege, G., Grundgesetze der Arithmetik, vol. I, p. 36, Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1966.
- 6 ↑ Russell, B., Lettre à Frege, trad. J. Mosconi, in Rivenc et de Rouilhan (dir.), Logique et fondements des mathématiques. Anthologie (1850-1914), pp. 237-243.
- Voir aussi : Husserl, E., Philosophie de l'arithmétique, trad. J. English, PUF, Paris, 1972.