indépendance
Cet article est extrait de l'ouvrage Larousse « Dictionnaire de la philosophie ».
Logique, Mathématiques, Philosophie des Sciences
Un axiome An est indépendant d'un ensemble d'axiomes {A1, A2, ..., An – 1} s'il est indémontrable à partir de la conjonction A1 & A2 ... & An – 1. Si le langage de la théorie considérée comporte un symbole pour la négation, soit ¬, alors se demander si An est indépendant de la conjonction A1 & A2 ... & An – 1 revient à démontrer la consistance logique, ou non-contradiction, de A1 & A2... & An – 1 & ¬ An.
C'est selon ce processus que l'invention des géométries non euclidiennes a montré l'indépendance du cinquième postulat d'Euclide, ou postulat des parallèles (par un point pris hors d'une droite, on peut mener une et une seule parallèle à cette droite), par rapport à l'ensemble des axiomes et postulats de la géométrie euclidienne.
Quand un axiome n'est pas indépendant, il est démontrable à partir de la conjonction des autres axiomes de la théorie ; c'est donc un théorème de la théorie. On peut donc le supprimer de la liste des axiomes sans perte pour la théorie considérée.
La recherche de l'indépendance de certaines propositions de géométrie euclidienne par rapport à un ensemble d'autres propositions géométriques a fait partie de l'effort, particulièrement soutenu à la fin du xixe s., d'expliciter le plus clairement possible quelles propositions sont effectivement utilisées dans la démonstration de tel théorème. Par exemple, D. Hilbert a montré dans ses Fondements de la géométrie (1899) que pour démontrer le théorème de Pappus-Pascal on n'a pas besoin des axiomes de la congruence, si l'on utilise l'axiome d'Archimède. En revanche, on peut faire toute une série de constructions géométriques sans utiliser l'axiome d'Archimède(1).
Hourya Sinaceur
Notes bibliographiques
- 1 ↑ L'axiome d'Archimède stipule que pour toute paire de segments de droite inégaux, A < B, il existe un nombre entier n tel que nA > B. Le théorème de Pappus-Pascal peut s'énoncer sous la forme suivante : soient A, B, C et A′, B′, C′ deux groupes de trois points appartenant respectivement à deux droites concourantes et tous différents du point d'intersection des deux droites. Si CB′ est parallèle à BC′ et CA′ parallèle à AC′, alors BA′ est parallèle à AB′.
→ axiome, consistance, contradiction / non-contradiction, démonstration, théorème