théorème

Cet article est extrait de l'ouvrage Larousse « Dictionnaire de la philosophie ».

Mathématiques

Énoncé démontrable dans une théorie donnée, s'opposant en ce sens aux énoncés « premiers » d'une théorie que sont les définitions, axiomes et postulats.

Un théorème énonce une certaine propriété comme « le noyau d'un morphisme φ de G dans H, est un sous-groupe normal de son domaine G », et en fournit la preuve. Il contient donc deux parties : la proposition et la démonstration.

En tant que proposition spéculative, le théorème s'oppose aux énoncés pratiques. Plus précisément, le théorème a généralement été radicalement distingué du « problème ». « Le théorème est différent du problème, en ce que le premier est de pure spéculation, et que le second a pour objet quelque pratique »⁽¹⁾. Cette distinction très nette est systématique dans les Éléments et caractérise peut-être la géométrie grecque, spéculative, par rapport aux héritages mathématiques d'Égypte ou de Mésopotamie qui traitaient de résolution de problèmes (sous-entendus pratiques). Dans les Éléments, chaque théorème démontré est clos par la formule « Ce que précisément il fallait démontrer » alors que chaque problème l'est par « ce que précisément il fallait faire ».

On ne doit pas surestimer la pertinence de cette partition puisqu'il est possible de soutenir que les problèmes sont au fond des théorèmes d'existence ou, à l'opposé que les théorèmes sont des solutions de problèmes ; ce qui engage des conceptions générales différentes de l'activité mathématique comme résolution de problème ou alors comme mise en forme théorique de résultats.

Vincent Jullien