conséquence

Cet article est extrait de l'ouvrage Larousse « Dictionnaire de la philosophie ».

Logique, Mathématiques

La logique a pour objet l'usage rationnel du discours, elle fournit les règles du raisonnement correct. Ainsi, les stoïciens, esquissant le calcul propositionnel, avaient dégagé des schémas d'inférence qu'ils nommaient tropes et qu'ils tenaient pour évidents et principiels. Le premier schéma s'exprimait sous la forme suivante (les propositions sont représentées par des variables numériques ordinales) : « si le premier, le second, or le premier, donc le second » et admettait l'application canonique : « s'il fait jour, il fait clair, or il fait jour, donc il fait clair ». Ce schéma est encore généralement repris dans les systèmes de logique propositionnelle sous la forme de la règle de détachement ou modus ponens (du latin ponere, « affirmer »), suivante : étant donné une proposition conditionnelle et son antécédent, on peut détacher son conséquent. Dans un système présenté axiomatiquement, cette règle permet déduction ou démonstration.

La déduction (notée ⊦) dérive une proposition B_m à partir d'une suite finie d'hypothèses A₁, A₂, ..., A_n en recourant au modus ponens.

La démonstration constitue un cas particulier de déduction dans lequel ne figure plus aucune hypothèse. La proposition démontrée B dérive alors des seuls schémas d'axiomes du système au moyen du modus ponens. D'où : B, qui est alors un théorème du système considéré. Déductions et démonstrations, constituant des procédures syntaxiques de dérivation des formules du système, relèvent de la théorie de la preuve.

Calcul, la logique est aussi un langage qui peut être interprété, ce qui relève de la théorie des modèles inventée au début des années 1930 par Tarski. En calcul des propositions, par exemple, on appelle modèle une distribution de valeurs de vérité qui rend vraie une formule donnée et on définit une formule B comme conséquence logique d'une autre formule A si et seulement si tout modèle de A est modèle de B, ce qui se note : A ¬ B⁽¹⁾. On a ainsi : p, p → q ¬ q, car si p et p → q sont vraies, alors, en vertu de la table du conditionnel (qui exclut que l'on puisse déduire le faux du vrai), q est vraie. On définit alors comme valide toute formule C telle qu'on ait ¬ C, i.e. une formule qui s'avère pour toute interprétation. Dans un système complet, tel le calcul propositionnel, on établit que toute formule démontrable est valide et réciproquement : A si et seulement si ¬ A. Ainsi, dérivation syntaxique et sémantique se correspondent exactement.

Denis Vernant

→ déduction, déduction naturelle, modèle, validation