division euclidienne

MATHÉMATIQUES

Division euclidienne dans K [X] : opération permettant, pour deux polynômes A et B (B non nul), de déterminer le couple unique (Q,R) de polynômes vérifiant A = BQ + R, le degré de R étant strictement inférieur au degré de B.

Division euclidienne dans ℤ : opération permettant, pour deux entiers a (dividende) et b (diviseur) [b ∈ℕ^*] de trouver le couple unique d'entiers (q, r), q étant le quotient euclidien et r le reste, tels que a = bq + r et 0 ≤ r < b.

Dans la division de A par B, le couple trouvé (Q,R) est unique ; Q s'appelle le quotient et R le reste. Si R est nul, A est dit divisible par B et A appartient à l'idéal engendré par B.

Dans la division euclidienne de l'entier relatif a par l'entier naturel non nul b, les entiers q et r son uniques ; q est l'entier tel que :

bq≤a<b (q + 1) et r = a − bq,

d'où 0≤r<b et a = bq + r.
Donc, si r = 0, on a a = bq, et a est divisible par b.