réciproque
Cet article est extrait de l'ouvrage Larousse « Dictionnaire de la philosophie ».
Du latin reciprocus, « qui revient au point de départ ».
Logique, Mathématiques
Proposition de la forme « A ⇒ B » étant donnée, la proposition réciproque est « B ⇒ A ».
Établir l'équivalence de deux propositions A et B nécessite de démontrer l'implication de A vers B et la réciproque. Un exemple élémentaire est donné par le théorème de Thalès : « si trois droites sont parallèles, elles partagent des droites sécantes en des segments proportionnels » et son théorème réciproque : « si des droites sécantes à trois droites données sont partagées en segments proportionnels, les droites données sont parallèles ».
On applique parfois – abusivement – le terme de réciproque à des relations : ainsi, on dira que la relation R′ est la réciproque de la relation R lorsque (aRb ⇒ bR′a).
Le terme réciproque a un sens directement lié à la théorie des proportions et au livre v d'Euclide. Cette liaison est doublement paradoxale : en premier lieu, la tradition (toujours vivace au xviiie s.) donne pour synonymes « raison réciproque » et « raison inverse », dans un sens proche de la définition 13 du livre v euclidien : « Il y a rapport inverse quand on prend la conséquente comme antécédente relativement à l'antécédente comme conséquente ». Il y a donc un faux sens possible entre inverse et réciproque. En second lieu, une notion particulière de réciprocité, héritée des Éléments, a traversé les siècles, celle de figures réciproques : ainsi deux triangles dont les bases et les hauteurs sont « inversement proportionnelles ». Il se trouve que la définition euclidienne correspondante (Déf. 2, livre vii) est très vraisemblablement à la fois interpolée et corrompue.
Vincent Jullien
