métamathématique

Cet article est extrait de l'ouvrage Larousse « Dictionnaire de la philosophie ».

Logique, Philosophie Cognitive

Historiquement, appellation péjorative utilisée, concurremment avec « métagéométrie », pour désigner les géométries non euclidiennes. Actuellement, au sens large, désignation utilisée pour toute investigation de type logique relative aux propriétés des théories mathématiques formalisées ; au sens étroit, nom donné par le mathématicien allemand David Hilbert (1862-1943) à sa « théorie de la démonstration », dans laquelle des méthodes exclusivement constructives (« finitistes ») sont notamment utilisées pour parvenir à une preuve de la consistance de l'arithmétique.

La métamathématique au sens de Hilbert⁽¹⁾ s'emploie à établir certaines propriétés (consistance, décidabilité) des théories mathématiques sans jamais recourir à des notions sémantiques abstraites ou à des méthodes non constructives. On y considère que seules sont douées de contenu les propositions (dites réelles ou élémentaires) relatives à des objets « quasi concrets » capables d'être donnés dans l'intuition, les propositions (dites idéales ou infinitaires) qui ne sont pas de ce type étant traitées comme des assemblages de symboles dénués de signification. Ces assemblages sont eux-mêmes des objets quasi concrets à propos desquels des énoncés doués de contenu peuvent être exprimés, comme l'affirmation de la consistance d'une théorie (« aucune suite de symboles qui est une démonstration dans T ne se termine par “0 = 1” »). Afin de démontrer des énoncés de ce genre, dits métamathématiques, on n'emploiera que des méthodes intuitives, analogues à celle qui permet de conclure, que si un entier est plus grand qu'un autre, alors le successeur du premier est plus grand que le successeur du second. Gödel a tiré parti de cette caractéristique pour montrer que la métamathématique hilbertienne peut être « arithmétisée », c'est-à-dire représentée à l'intérieur de l'arithmétique elle-même, et il a utilisé cette technique d'arithmétisation pour établir les résultats d'incomplétude qui montrent justement que le programme de Hilbert était ineffectuable sous sa forme originale.

Jacques Dubucs

→ consistance, démonstration, formalisation, Gödel (théorème de)