implicite

Cet article est extrait de l'ouvrage Larousse « Dictionnaire de la philosophie ».

Mathématiques, Logique

Ce dont la notion est contenue dans un énoncé sans qu'elle soit exprimée en tant que telle.

Le caractère implicite d'une propriété peut être considéré comme révélateur d'un défaut ou d'un manque : certaines démonstrations des Éléments d'Eudide (V, 10) font un usage implicite d'une relation d'ordre total sur les grandeurs, sans que celle-ci ne soit jamais énoncée, ce qui affaiblit la démonstration. Par ailleurs, certaines conséquences très évidentes d'un théorème peuvent être passées sous silence, comme « allant de soi » ; elles sont alors implicites au sens d'être évidemment incluses, impliquées par le théorème que l'on vient d'établir.

Le mouvement d'axiomatisation des mathématiques engagé à la fin du xix^e s. a donné une grande importance à la théorie des définitions implicites, qui revendique l'usage de cette notion. La définition implicite efface l'ancienne distinction entre les définitions, d'une part, et les axiomes et postulats, de l'autre, pour unifier les énoncés fondateurs d'une théorie. Elle ne produit pas directement de nouvel objet. Elle consiste à élucider un terme sans le définir par sa forme, mais par son usage.

Ainsi, la définition des nombres entiers, chez Dedekind, est implicite : au lieu de définir explicitement le nombre entier, on donne les conditions qui font que deux objets ont même nombre. Le concept se dégage indirectement de ces énoncés. De même, rompant avec les tentatives de définitions explicites (Bernoulli, Laplace...) d'une probabilité, A. N. Kolmogoroff énonce, en 1933, six axiomes formels et « définit » une probabilité comme « n'importe quoi vérifiant les axiomes ».

Vincent Jullien