transfini
Se dit du cardinal d'un ensemble infini.
On dit que deux ensembles E et F sont équipotents s'il existe une bijection de E sur F (selon la théorie des ensembles). De manière imagée, on sait attacher à tout l'ensemble E un autre ensemble, appelé cardinal de E, de sorte que deux ensembles équipotents aient le même cardinal. La notion d'ordinal généralise ; celle de cardinal, nettement moins intuitive, est liée aux ensembles ordonnés.
On dit qu'un ensemble E est fini lorsqu'il n'existe aucune partie de E autre que E qui soit équipotente à E. Le cardinal de E est alors un nombre entier naturel ; c'est tout simplement le nombre d'éléments de E. Les ensembles non finis sont dits infinis. Les cardinaux infinis, jouant un rôle analogue à celui des entiers naturels, sont souvent appelés nombres transfinis. La théorie des nombres transfinis présente des subtilités, conduisant facilement à des paradoxes. Ainsi, les nombres transfinis ne constituent pas un ensemble.
On peut cependant définir une relation d'ordre entre cardinaux, à savoir la relation induite par la relation d'inclusion entre ensembles. C'est même une relation d'ordre total. En effet, on démontre que pour tout couple (α, β) de cardinaux il en existe au moins un qui soit contenu dans l'autre. De plus, si α et β ne sont pas égaux, l'inclusion de α dans β équivaut à l'appartenance de α à β.
On peut définir aussi des lois de composition internes entre cardinaux : l'addition, la multiplication et l'exponentiation. Par exemple, on appelle produit des cardinaux α et β le cardinal de l'ensemble produit α x β. Les propriétés des lois et de l'ordre généralisent les propriétés correspondantes pour les entiers naturels.
Le plus petit nombre transfini est l'ensemble N des nombres entiers naturels ; on le note encore ℵo (lire aleph zéro), où ℵ est la première lettre de l'alphabet hébraïque. Les ensembles équipotents à une partie de N sont dits dénombrables ; ce sont donc les ensembles finis et les ensembles dont le cardinal est égal à ℵo. Par exemple, l'ensemble Z des entiers rationnels et l'ensemble Q des nombres rationnels sont infinis dénombrables. De plus, tout intervalle de Q non réduit à un point est encore un ensemble infini dénombrable.
L'ensemble R n'est pas dénombrable ; son cardinal se note ℵ1. C'est d'ailleurs le cardinal de l'ensemble (N) des parties de N. On construit ainsi une suite de cardinaux transfinis, ℵo, ℵ1, ℵ2, etc.
Les ensembles équipotents à R sont dits avoir la puissance du continu. Par exemple, tout intervalle de R non réduit à un point a la puissance du continu ; un tel intervalle contient une infinité de nombres rationnels. Un problème célèbre, posé par Cantor lui-même, est celui de l'hypothèse du continu, suivant laquelle tout cardinal non dénombrable est supérieur à ℵ1. Paul J. Cohen a démontré en 1963 que cet énoncé est indécidable, c'est-à-dire que ni cet énoncé ni sa négation ne sont des conséquences des axiomes de la théorie des ensembles. On peut donc adjoindre cet énoncé (ou sa négation) à la liste desdits axiomes.
La théorie des cardinaux, y compris les cardinaux infinis, est un intermédiaire de plus en plus utilisé dans la construction de l'ensemble des nombres entiers naturels.