structure

Collection des propriétés conférées à un ensemble par des opérations ou des relations.

MATHÉMATIQUES

Donner à un ensemble une « structure » permet de distinguer ses éléments. Si l'on envisage la distance entre éléments, on définit une structure métrique ; si l'on compare les éléments (« plus grand », « plus petit », etc.), on définit une structure d'ordre ; si l'on parle de voisinage et de frontière, on définit une structure topologique, etc. Définir une opération sur un ensemble donne à celui-ci une structure algébrique. Loin de se contenter de considérer une opération sous sa seule capacité calculatoire, une structure algébrique la prend en compte comme principe d'organisation de l'ensemble sur lequel elle est définie. En effet, le propre de l'algèbre moderne est d'étudier le type d'organisation qu'une opération imprime sur un ensemble. On peut, par exemple, créer des liens entre les éléments : 5 est la somme de 2 et 3 ; ou bien, certaines parties de l'ensemble se distinguent soit parce que, à partir d'elles, l'opération permet de construire l'ensemble tout entier, soit parce qu'elle agit dans certains sous-ensembles sans jamais en sortir. Plus que l'opération elle-même, c'est cette organisation qui est essentielle. En effet, les structures permettent de résoudre les grandes familles de problèmes. Elles représentent aussi une « économie » de démonstration : en prouvant qu'un ensemble est structuré d'une certaine façon, on s'épargne d'en redémontrer toutes les propriétés. D'où l'intérêt, également, de pouvoir « transporter » une structure d'un ensemble à un autre. Les principales structures utilisées en algèbre sont celles de groupe, de corps, d'anneau, d'idéal et d'espace vectoriel.