réel

Se dit en géométrie analytique d'un ensemble dont tous les points ont pour coordonnées des nombres réels.

MATHÉMATIQUES

Les mathématiques et, par suite, la physique et ses applications ne seraient pas capables d'agir sur le « monde matériel » si elles ne connaissaient pas la notion de nombre réel. Celle-ci provient de la géométrie la plus élémentaire : la géométrie de la droite. La théorie des nombres réels, connue au temps d'Euclide sous le nom (qu'elle garda longtemps) de « mesure des grandeurs », est née de l'attribution d'un nombre à tout point d'une droite repérée. Ce nombre, appelé abscisse du point considéré, est égal, au signe près (+ ou −), au rapport entre la distance qui sépare l'origine du point choisi et la distance prise comme unité. C'est ainsi que la distance Paris-Marseille est égale à un peu plus de 797 kilomètres (le kilomètre étant la distance unité).

Les concepts de nombre entier (0, 1, 2, 3, etc.) puis de nombre rationnel ou fractionnaire (1/3, 1/7, … par exemple), concepts purement algébriques, permirent de mesurer presque toutes les distances usuelles jusqu'au jour où l'on s'aperçut que le nombre ƒ^(j) qui mesure la diagonale d'un carré dont le côté est 1 (l'unité), ne pouvait entrer dans ce cadre satisfaisant. Par ce biais géométrique naissait le nombre irrationnel (c'est-à-dire réel mais non rationnel) et, avec lui, une longue crise philosophique qui ne prit vraiment fin qu'au xix^e siècle, avec la première définition correcte de la notion de réel (les « coupures » de Dedekind, dans un ouvrage célèbre consacré aux nombres en général : Was sind und was sollen die Zahlen, 1888).

Une partie non entière sans fin

Une introduction rigoureuse à une question aussi difficile est impossible dans le cadre d'une encyclopédie générale. Contentons-nous d'une approche intuitive. Un nombre réel sera déterminé, pour nous, par la donnée d'un entier relatif (0, + 1, - 1, + 2, par exemple) et d'une suite infinie de chiffres, placés, de gauche à droite, après une « virgule ». Cette suite de chiffres fournit la partie dite « non entière », ou « mantisse », du nombre réel. Deux suites distinctes définissent des mantisses différentes, sauf dans les cas analogues à celui-ci : 0,347 999 (ou 1,347 999…) peut être considéré comme égal à 0,348 000 (ou 1,348). En effet, toute suite, par exemple 347 999, qui est, au-delà d'un certain rang, composée uniquement de 9 est égale à une suite formée uniquement de 0 à partir du même rang. Pour une raison analogue, nous exclurons la suite 999 999…, qui, ajoutée à un nombre entier, tel que 23 par exemple, donnerait naissance au réel 24 et non à un nombre dont 23 serait la « partie entière ». La donnée d'un nombre réel se présente, dans la pratique, sous une forme du genre :
217,
(partie entière)
302 489 100 345…
(partie non entière = mantisse).

La mantisse est supposée n'avoir pas de fin. Les nombres décimaux, qui s'écrivent dans notre système usuel de numération à l'aide d'un nombre fini de décimales après la virgule, rentrent parfaitement dans ce cadre ; au décimal 132/25 = 5,28 on associe le réel : 5,280 000… 000…

De même, tout rationnel donnant naissance à une suite de décimales répétitive (on dit : périodique), il est immédiat d'identifier les rationnels à des réels particuliers. Par exemple, une division euclidienne supposée indéfinie donnerait, comme quotient de 513 par 70, le nombre : 7,3 [2857 14] [2857 14] [2857 14] [2 857…].

La période [2857 14] permet de définir une loi pour le calcul d'une décimale de rang arbitraire (ainsi on peut prévoir simplement que la millième décimale sera un 5). Par suite, il y a identité entre le rationnel 513/70 et le réel 7, 32857 142857 14…, dont la loi de formation est parfaitement régulière. Restent enfin les réels irrationnels (de loin les plus nombreux) comme ƒ^(j) = 1,414…, dont la loi de formation est beaucoup plus complexe que pour un rationnel.

π = 3,141 592 653 589 79… en est un autre exemple célèbre.

Sans pouvoir entrer dans le détail, signalons que l'on n'aurait pas pu bâtir d'analyse (c'est-à-dire utiliser des dérivées, intégrales, étudier des variations de fonctions, résoudre des équations différentielles, etc.) avec les seuls nombres rationnels, trop paradoxaux et compliqués en dépit de leur apparente simplicité : c'est le nombre réel, ainsi que le nombre complexe, qui donne à l'analyse la puissance dont témoigne toute la civilisation industrielle moderne.