mécanique des fluides

Science qui étudie l'équilibre et le mouvement des fluides.

La mécanique des fluides est un sous-ensemble de la mécanique des milieux continus. Elle comprend l'étude des gaz et des liquides à l'équilibre et en mouvement, ainsi que l'étude de l'interaction de ces derniers avec les corps solides. Son importance s'explique par le fondement théorique qu'elle offre à de nombreuses disciplines – la météorologie, l'hydrologie, l'aérodynamique, l'étude des plasmas –, ce qui indique l'ampleur de son champ d'investigation.

La maîtrise de l'eau, comme de l'air, a intéressé les hommes depuis la préhistoire, pour résoudre les problèmes d'irrigation et utiliser la force du vent pour propulser les bateaux. C'est Archimède, au iii^e s. avant J.-C., qui a été le véritable initiateur de la « mécanique des fluides » en énonçant le théorème qui porte son nom. Bien qu'ils ne connussent pas les lois de l'hydraulique, les Romains utilisaient ses applications pour la construction de canaux ouverts pour la distribution d'eau. On l'ignore souvent, mais Léonard de Vinci a laissé des notes relatives aux vagues, aux tourbillons, aux corps flottants, aux écoulements dans des tubes et à la machinerie hydraulique. C'est lui qui a conçu, le premier, un parachute, l'anémomètre (pour mesurer la vitesse des vents) et une pompe centrifuge. Au xvii^e s., Pascal, à la suite de travaux sur le développement de méthodes de calcul, a donné un nouvel essor à l'hydraulique en expliquant, entre autres, les expériences de son contemporain Torricelli sur les pompes aspirantes. Ses travaux ont été repris durant les siècles suivants avec, en particulier, les innovations de Pitot (rendement des machines hydrauliques, tube de Pitot) et Venturi (travaux hydrauliques, construction d'une tuyère à cônes divergents). Les théoriciens Bernoulli et Euler ont grandement contribué à la formulation des principes de l'hydrodynamique ; de même, les travaux de Navier, en théorie générale de l'élasticité, et de Barré de Saint-Venant, auteur des premières expériences précises sur l'écoulement des gaz à grande vitesse et d'études théoriques complétées par Stokes, ont fait avancer de manière décisive la mécanique des fluides. Mais il a fallu attendre le xx^e s., avec la convergence de connaissances mathématiques et expérimentales et l'utilisation de calculateurs de plus en plus puissants, pour que soient véritablement abordés des problèmes aussi complexes que les écoulements de fluides visqueux dans des tuyaux cylindriques, et que soient expliquées les différences entre les écoulements laminaires – étudiés par Poiseuille au milieu du xix^e s. – et turbulents, par les travaux de Reynolds, notamment. Ces domaines d'études, ainsi que les problèmes de couche limite développés par Prandtl ou ceux d'écoulements turbulents traités par Karman, font, aujourd'hui encore, l'objet de recherches poussées.

Subdivisions de la mécanique des fluides

L'étude des fluides au repos dans un repère donné constitue la statique des fluides. Elle comprend la statique des liquides (ou hydrostatique) et la statique des gaz (ou aérostatique). La dynamique des fluides étudie, pour sa part, les fluides en mouvement. On distingue la dynamique des liquides (ou hydrodynamique) et la dynamique des gaz (ou aérodynamique). En outre, la dynamique des fluides conducteurs de l'électricité en présence de champs magnétiques constitue un domaine à part, que l'on nomme magnétohydrodynamique. Les diverses branches de la mécanique des fluides jouent un grand rôle dans de nombreux domaines, tant dans l'industrie que dans la recherche.

L'hydrodynamique est nécessaire à la compréhension du fonctionnement de nombreux engins (pompes, moteurs, échangeurs de chaleur…) dans lesquels interviennent des écoulements de fluides dans des conduites. Elle est également à la base de la construction navale, de l'hydrologie, de l'océanographie…

L'aérodynamique permet de concevoir avions, fusées, navettes spatiales… Sa connaissance contribue à la diminution de la consommation d'énergie des véhicules, en préconisant pour ceux-ci des formes « aérodynamiques », qui réduisent l'effet de la résistance de l'air à l'avancement. L'aérodynamique est également à la base de la météorologie et de l'étude de l'atmosphère des autres planètes.

La magnétohydrodynamique joue un rôle essentiel en astrophysique (modèles d'étoiles, dynamique de la matière interstellaire). Elle intervient également dans l'étude des gaz ionisés, ou plasmas (décharges électriques dans les gaz, confinement des plasmas par champs magnétiques destiné à la production contrôlée d'énergie par fusion thermonucléaire). Elle a aussi permis de réaliser des prototypes de centrales convertissant directement de l'énergie thermique en énergie électrique (convertisseurs magnétohydrodynamiques).

Les fluides

La notion de fluide repose sur les propriétés mécaniques très différentes de l'état solide et des états liquide et gazeux. Contrairement aux solides, qui ne se déforment que s'ils sont soumis à de puissantes forces, les liquides ou les gaz changent de forme beaucoup plus aisément : à l'état fluide, la matière présente la propriété de s'écouler.

Les liquides et les gaz

Selon la définition élémentaire, un liquide a « un volume propre, mais pas de forme propre », alors qu'un gaz n'a pas de « volume propre mais tend à occuper tout l'espace qui lui est offert ». En réalité, la distinction entre liquide et gaz n'est pas toujours évidente : en effet, le passage de la phase gazeuse à la phase liquide peut se faire sans transition (on parle alors de continuité de l'état fluide). Toutefois, dans les conditions normales de pression et de température, la phase liquide et la phase gazeuse se différencient très nettement.

Dans un liquide comme dans un gaz, les molécules sont animées de mouvements désordonnés. Cependant, dans un liquide, les molécules sont distantes les unes des autres d'une longueur correspondant environ à leur taille, alors que dans un gaz les distances entre molécules sont très grandes par rapport à leur dimension. Les forces dites d'interaction moléculaire jouent donc un rôle important dans l'état liquide alors qu'elles n'interviennent que très peu dans l'état gazeux. Le modèle de gaz parfait, qui suppose que les molécules n'interagissent pas entre elles, rend compte assez convenablement des propriétés de la plupart des gaz.

Les liquides et les gaz se distinguent par leur compressibilité. On appelle coefficient de compressibilité le rapport de la diminution relative de volume à l'augmentation de pression, et ce à température constante. Ce paramètre a donc la dimension de l'inverse d'une pression. Les liquides ont des compressibilités très faibles (celle de l'eau, à une température de 20 °C, est de 4,4 . 10⁻¹⁰), qui varient peu avec la pression et la température. Ainsi, un accroissement de pression de 2 . 10¹⁵ Pa se traduit par une diminution de volume de l'eau égale à un dix-millième du volume initial, soit, pour donner un ordre d'idée, 0,1 cm³ pour 1 l. Pour les gaz, le coefficient de compressibilité varie plus : à une pression voisine de la pression atmosphérique normale, la compressibilité de l'air est 20 000 fois plus grande que celle de l'eau. Admettre qu'un fluide est incompressible revient à dire que sa masse volumique est constante. Le plus souvent, les liquides sont considérés comme des fluides incompressibles. En revanche, l'étude d'un gaz demande de prendre en compte sa compressibilité ; il existe cependant des conditions dans lesquelles un écoulement gazeux peut être assimilé à un écoulement incompressible (lorsque la vitesse de l'écoulement est très petite par rapport à celle du son).

Fluides visqueux, fluides parfaits

Les diverses couches d'un fluide en mouvement ne peuvent pas glisser librement les unes sur les autres : tout se passe comme si des frottements au sein du fluide s'opposaient aux mouvements relatifs des lignes de courant voisines. Cette résistance au glissement ou à la déformation caractérise la viscosité d'un fluide ; elle est la propriété inverse de la fluidité. Cette viscosité, dite dynamique, s'exprime comme le quotient d'une masse par une vitesse (l'unité est le poiseuille) ; en règle générale, elle dépend fortement de la température – celle des liquides diminue avec la température, alors que celle des gaz croît – et elle se révèle très peu sensible à la pression. On mesure la viscosité dynamique d'un fluide, généralement liquide, à l'aide d'un viscosimètre. Le principe consiste en une comparaison entre le temps mis par le fluide pour s'écouler dans un tuyau vertical sur une distance donnée et celui mis par un fluide de référence (l'eau par exemple). Connaissant la densité des deux fluides, on en déduit la viscosité.

On appelle fluide non visqueux, ou fluide parfait, un fluide dont l'écoulement se fait « sans frottements internes » d'aucune sorte. Le modèle du fluide parfait permet de rendre compte assez convenablement de la structure de certaines régions d'écoulements réels ou de la modéliser, mais jamais de la structure complète de ceux-ci. Une des caractéristiques principales de la mécanique des fluides apparaît ici : pour représenter des faits ou des observations, elle fait appel à des modèles, dont le degré de raffinement est variable. En raison de l'extrême complexité des phénomènes qu'elle tente de décrire, elle ne peut se passer de tests expérimentaux (réalisation de maquettes, testées dans un bassin, qui serviront à la conception des navires ; essais en soufflerie pour la construction aéronautique, etc.).

Les écoulements

En mécanique des fluides, les diverses régions d'un écoulement peuvent être cataloguées en fonction de différents critères. Si le critère retenu est d'ordre géométrique, on peut distinguer les écoulements internes, qui s'effectuent à l'intérieur d'une conduite, des écoulements externes, qui se font autour d'objets solides, par exemple un navire ou un aéronef.

En général, les écoulements sont fonction du temps et de trois coordonnées spatiales (c'est-à-dire de la position du lieu où l'on se trouve). Dans les laboratoires, où sont recréées des situations assez réalistes, seules deux coordonnées spatiales interviennent : l'écoulement est dit bidimensionnel. Par exemple, l'écoulement d'air autour d'une aile d'avion suffisamment longue peut se traiter comme un écoulement bidimensionnel (les variations du champ de vitesse selon l'envergure de l'aile sont relativement faibles par rapport à celles correspondant aux autres directions, sauf à l'extrémité immédiate de l'aile, siège d'un tourbillon pleinement tridimensionnel). Dans les conduites (tuyaux, échangeurs, tuyères), on peut même considérer que l'écoulement ne dépend essentiellement que d'une seule dimension (la direction de l'axe de la conduite) : il est alors unidimensionnel.

Si l'on fait référence à des critères physiques, on peut distinguer les écoulements compressibles des écoulements incompressibles (selon l'importance de l'effet de compressibilité), les écoulements visqueux des écoulements non visqueux (suivant l'influence, notable ou non, de la viscosité). On peut encore adopter d'autres critères, comme les écoulements isothermes, dans lesquels toutes les particules sont à la même température.

Une autre classification peut être établie suivant des considérations cinématiques : un écoulement est dit uniforme dans l'espace si la vitesse est la même en chaque point du fluide. Il est permanent ou stationnaire si la vitesse en un point quelconque garde la même valeur au cours du temps. Un écoulement peut également être tourbillonnaire : le cyclone en est l'exemple typique ; de la même façon, lors d'une promenade en bateau, on peut observer des tourbillons dans le sillage de l'embarcation.

En aérodynamique, on distingue l'écoulement subsonique et l'écoulement supersonique, selon que la vitesse du fluide est inférieure ou supérieure à la vitesse du son. Le nombre de Mach, qui est le rapport entre la vitesse de l'écoulement et la vitesse du son, caractérise donc le domaine de vitesse de l'écoulement.

Une dernière distinction concerne les écoulements laminaires et les écoulements turbulents. Supposons que l'on ouvre tout doucement un robinet d'alimentation en eau. On constate d'abord un écoulement régulier dans lequel le fluide semble organisé en filets. En continuant à ouvrir le robinet, on observe, lorsque le débit est suffisant, une transition à partir de laquelle l'écoulement prend une allure désordonnée. Le premier type d'écoulement est dit laminaire, car il peut être décrit comme un ensemble de lames (filets, couches) de fluide qui glissent les unes sur les autres. Dans le second type, dit turbulent, on ne peut plus définir de lames fluides qui garderaient leur individualité. Un écoulement turbulent est caractérisé par son irrégularité temporelle et spatiale. Les exemples d'écoulements turbulents ne manquent pas : torrents, rapides, sillages d'avion…

La turbulence est à l'origine d'une dissipation d'énergie au sein d'un fluide très supérieure à celle générée par l'effet de viscosité. L'étude des écoulements laminaires et de leur transition vers la turbulence est un sujet difficile mais passionnant qui a fait l'objet de progrès théoriques et expérimentaux remarquables depuis la fin des années 1970.

Pour conclure cette classification, il faut rappeler que la mécanique des fluides procède par modèles successifs en tentant de rendre compte, par un ensemble d'hypothèses, d'une situation donnée. Cette discipline permet rarement de décrire l'ensemble de l'écoulement d'un fluide par un modèle unique. Un modèle réaliste consiste en une subdivision de ce fluide en plusieurs régions correspondant chacune à un type d'écoulement.

Les phénomènes de capillarité

La mécanique des fluides comprend non seulement l'étude des fluides en équilibre ou en mouvement, mais également les interactions des fluides avec les corps solides.

Contact solide-liquide

Considérons un liquide en équilibre dans un récipient. La surface libre apparaît horizontale. Cela est vrai si on se trouve assez loin des parois. En revanche, près du bord du récipient, il y a incurvation de la surface libre du liquide. L'angle de raccordement du liquide avec la paroi peut être aigu, nul ou obtus. On dit alors du liquide qu'il mouille, mouille parfaitement, ou ne mouille pas le solide. L'incurvation de la surface libre du liquide résulte des forces qui interagissent entre les molécules du corps solide, forces qui provoquent l'apparition d'une tension superficielle entre ce dernier et le liquide. De la même façon, si l'on pose délicatement à la surface d'un verre rempli d'eau une aiguille de fer légèrement huilée, on s'aperçoit que celle-ci, qui devrait s'enfoncer dans le liquide (puisque le fer est plus dense que l'eau), a tendance à flotter. Là encore, le phénomène est dû au comportement des molécules situées à la surface du liquide.

La loi de Jurin

Dans un tube de petit diamètre, on constate que les liquides qui mouillent (comme l'eau au contact du verre) ont tendance à monter, alors que les liquides qui ne mouillent pas (comme le mercure au contact du verre) ont tendance à descendre. On peut montrer que la hauteur d'ascension ou de dépression est inversement proportionnelle au diamètre du tube (et cela indépendamment de la matière dont celui-ci est composé). Cette loi porte le nom de loi de Jurin (1718), bien qu'elle ait été énoncée initialement par Borelli en 1670.

Statique des fluides

Un fluide en équilibre dans un récipient exerce une pression contre les parois ; si l'on perce celles-ci en un point, le fluide jaillit hors du récipient, par l'effet de la force dite de pression (qui n'est plus équilibrée par la réaction de la paroi). La pression contre les parois du récipient en un point donné est définie comme le quotient de l'intensité de la force locale appliquée au point considéré par la surface élémentaire qui l'entoure. Considérons maintenant un point à l'intérieur d'un fluide. On peut imaginer une surface fictive passant par ce point et qui diviserait le liquide en deux parties. Un petit élément de cette surface entourant le point considéré est soumis à deux forces opposées et de même intensité. La pression à l'intérieur de ce fluide est égale au rapport de cette force par l'élément de surface.

Le champ de pression dans un fluide a deux origines à l'échelle moléculaire : d'une part, le transport de quantité de mouvement dû au passage constant de molécules à travers une surface donnée (on parle de pression cinétique), et, d'autre part, les interactions moléculaires (on parle de pression moléculaire). Dans un gaz, les forces entre molécules sont faibles en général (sauf pour des gaz fortement comprimés) : la pression est donc fortement conditionnée par la pression cinétique, alors que dans un liquide c'est la pression moléculaire qui prédomine.

Champ de pression dans un liquide

Lorsqu'un liquide en équilibre est soumis uniquement à l'action de la pesanteur, la différence de pression p_A − p_B entre deux niveaux A et B de ce liquide est mesurée par le poids d'une colonne de ce liquide ayant pour base l'unité de surface et pour hauteur la différence de niveau, h, entre A et B. Si on appelle ρ la masse volumique du liquide en question, h la hauteur de la colonne de liquide, le poids est égal à ρgh (g étant la constante de gravitation) ; l'équilibre de la colonne de liquide est donné par la relation : p_A – p_B = – ρgh, le signe négatif dans la relation indiquant que la pression dans le fluide augmente avec la profondeur. Cette relation suppose que la masse volumique ρ ne dépend pas de la pression, autrement dit que le liquide est incompressible ; cela est vrai avec une excellente précision pour les liquides.

Le théorème des vases communicants

Soit deux vases communicants (on appelle ainsi des récipients qui communiquent entre eux par un dispositif de tuyauteries) contenant le même liquide ; si les surfaces du liquide sont soumises à la même pression (par exemple, la pression atmosphérique dans le cas de vases à l'air libre), elles sont alors dans un même plan horizontal, quelles que soient les formes des vases, en vertu du principe fondamental de l'hydrostatique (même pression, même niveau). Si les pressions exercées sur les surfaces sont différentes (par exemple, la pression atmosphérique sur l'une, la pression exercée par un piston sur l'autre), la dénivellation entre les deux surfaces – le poids de la colonne d'eau a pour hauteur la différence entre ces deux niveaux – est proportionnelle à la différence de pression. Les manomètres à liquide évaluent la pression d'un fluide par la mesure de la dénivellation. Ce principe sert à de nombreuses autres applications (niveau d'eau, château d'eau et distribution d'eau, écluses…).

Le théorème de Pascal

Considérons un liquide au repos. Par un procédé quelconque, on fait varier légèrement la pression en un point du liquide ; cette variation se traduit intégralement, du fait de l'incompressibilité du fluide, en tous les autres points puisque la différence de pression entre deux points quelconques doit garder la valeur constante ρgh (poids de la colonne d'eau) : c'est l'illustration directe du théorème de Pascal, dont la transmission hydraulique est une application.

En effet, si l'on exerce une force donnée sur l'un des pistons mobiles fermant les extrémités d'un tube de section constante contenant un liquide, cette force sera intégralement répercutée sur l'autre piston par transmission de la variation de pression. C'est le principe des presses hydrauliques, qui a été mis en lumière par la célèbre expérience du tonneau de Pascal.

Prenons un tonneau surmonté d'un tube de hauteur suffisante et de diamètre quelconque (même très fin). Si on remplit le tube, le tonneau éclate. Ainsi, l'ajout d'un volume, même très faible, de liquide peut faire éclater le tonneau. L'explication du phénomène est la suivante : en ajoutant de l'eau, on augmente en tous les points du liquide la pression d'une quantité égale à ρgh ; comme l'extérieur du tonneau est toujours soumis à la pression atmosphérique, on crée en tout point de la paroi du tonneau une même surpression, d'autant plus forte que le niveau de l'eau dans le tuyau vertical est élevé (par exemple, en remplissant un tuyau de 5 m de longueur, on augmente la pression dans le tonneau de 5 . 10⁴ Pa, ce qui revient à appliquer, sur une surface de 1 dm², une force correspondant à une masse de 50 kg. Si la section du tube vertical a une surface de 1 cm², la masse d'eau ajoutée n'est que de 0,5 kg). Ces chiffres expliquent le côté spectaculaire, et a priori surprenant, de l'expérience.

Champ de pression dans un gaz

On ne peut traiter de façon identique le champ de pression dans un gaz et le champ de pression dans un liquide, et ce pour deux raisons : la première est due à la différence des masses volumiques (rapport moyen de un millième entre la masse volumique d'un gaz et celle d'un liquide pour des pressions usuelles) ; la seconde correspond au caractère compressible, qui est propre aux gaz. De plus, si l'on veut déterminer la pression qui s'exerce en chaque point d'un gaz, il faut tenir compte de l'influence de la pression et de la température sur sa masse volumique.

Il convient de distinguer le cas des gaz contenus dans des récipients de dimensions réduites de celui des masses gazeuses considérables, comme l'atmosphère terrestre. Dans le premier cas, le poids des colonnes gazeuses provoque des différences négligeables de pression : pour une température et une pression normales, la surpression engendrée par une hauteur de 20 cm de gaz est de l'ordre de 0,0025 % de la pression atmosphérique. On peut donc négliger les effets de profondeur et parler de pression constante dans le gaz. Dans le second cas, puisque l'on considère des colonnes gazeuses de hauteur importante, il y a une variation notable de la pression avec l'altitude.

Le théorème d'Archimède

Essentiel en mécanique des fluides, ce théorème indique que tout solide immergé dans un fluide subit de la part de ce dernier une poussée (appelée poussée d'Archimède) verticale – dirigée de bas en haut – égale au poids du fluide déplacé (correspondant au volume de l'objet considéré). La mise en évidence expérimentale de ce théorème peut être réalisée à l'aide d'un dispositif très simple : un solide de volume V est suspendu par une barre rigide au plateau d'une balance, équilibrée par une tare T. Si on immerge le solide dans un liquide de masse volumique ρ, l'équilibre est rompu et la balance penche du côté de la tare. Pour rétablir l'équilibre, il faut placer sur le plateau auquel est accroché le solide une masse m, de poids mg. Tout se passe donc comme si le solide immergé subissait une poussée Π = mg, dirigée de bas en haut, et s'opposant par conséquent à son poids. L'expérience montre que Π = ρVg, V correspondant au volume déplacé par le solide lors de son immersion. Cette force Π est appelée poussée d'Archimède, car c'est le grand savant syracusain qui la découvrit et l'exposa dans son traité sur les corps flottants. Notons que si le solide est homogène et s'il est immergé dans un liquide également homogène, à l'équilibre, le point d'application de la poussée d'Archimède (ou centre de poussée) est confondu avec le centre de gravité du solide. Dans le cas contraire, les deux points sont distincts, mais sont à la verticale l'un de l'autre. Remarquons que par fluide on peut entendre liquide, gaz, ou deux liquides non miscibles, ou bien encore un liquide en dessous d'un gaz à une pression quelconque. Ce théorème s'applique donc à un système de fluides en équilibre ; il n'est pas valable si le système est en mouvement.

En vertu de la loi de l'action et de la réaction, un solide immergé dans un système de fluides en équilibre exerce réciproquement sur ceux-ci une poussée verticale dirigée vers le bas et égale au poids du fluide déplacé. De la stabilité des navires à l'ascension des aérostats et des ballons-sondes, les applications du théorème d'Archimède sont nombreuses.

Les aérostats

On appelle aérostat tout dispositif subissant dans l'air une poussée d'Archimède supérieure à son poids. La différence entre ces deux forces est appelée force ascensionnelle. Une bulle de savon ou même un ballon d'enfant, quand il est gonflé à l'hydrogène, peuvent être considérés comme des aérostats.

Les ballons-sondes, dont la nacelle contient des instruments enregistreurs destinés à « sonder » les propriétés physiques (pression, température, humidité) des basses couches de l'atmosphère, ont une enveloppe en caoutchouc mince gonflée à l'hydrogène. Comme la densité de l'air diminue à mesure que l'on s'élève dans l'atmosphère, la force de poussée ascensionnelle subie par le ballon faiblit ; le gaz tend de plus en plus l'enveloppe, laquelle finit par éclater à une altitude qui peut dépasser 30 km. La chute des appareils est ensuite ralentie grâce au parachute dont est munie la nacelle.

Quant aux ballons sphériques destinés à emporter un ou plusieurs aéronautes, leur enveloppe contient plusieurs couches de tissus vernissés ou caoutchoutés qui empêchent autant que possible la diffusion de l'hydrogène ou de l'hélium. Le diamètre de cette enveloppe dépasse souvent une dizaine de mètres, ce qui permet l'ascension d'une nacelle comprenant passagers, instruments d'observation scientifique et lest. Pour que l'enveloppe n'éclate pas, l'intérieur du ballon communique avec l'extérieur (de cette façon, le gaz est à la même pression que l'air).

Au fur et à mesure que le ballon prend de l'altitude, la poussée d'Archimède diminue, l'air devenant de moins en moins dense. Il arrive un moment où cette force est nulle ; on dit alors que l'aérostat a atteint son plafond. Le seul moyen pour monter encore consiste à jeter du lest. Pour perdre de l'altitude, il suffit simplement de laisser échapper du gaz.

Les fluides en mouvement

Dans les fluides en mouvement autour d'objets solides, les particules ont une trajectoire assez complexe et, surtout, très sensible aux changements, même faibles, de la géométrie des obstacles. Ainsi, les équations générales qui décrivent ces écoulements ne peuvent intégrer tous les paramètres pour analyser les moindres détails du champ de vitesse.

En revanche, les techniques de visualisation permettent l'observation de l'ensemble de l'écoulement. Elles présentent le grand avantage de ne pas perturber les écoulements que l'on veut étudier, ce qui ne serait pas le cas si on était obligé, par exemple, d'introduire des sondes pour faire des mesures de pression (techniques intrusives). De plus, si les écoulements ne sont pas permanents, quelques sondages localisés ne permettent pas d'avoir une idée globale et continue du champ de vitesse, alors que la visualisation autorise une analyse plus poussée de la séquence temporelle des événements. Ces techniques ne se substituent pas à une investigation mathématique, elles en sont complémentaires, et il convient d'en mentionner quelques-unes :
– l'introduction d'un marqueur (par exemple un colorant ou un marqueur radioactif en un point du liquide, ou des filets de fumée dans un gaz), qui permet, grâce à sa trajectoire, de mettre en évidence une ligne de courant de l'écoulement partant du point d'émission. L'ensemble des lignes de courant qui s'appuient sur une section donnée est appelé tube de courant. On peut aussi déterminer une ligne de courant moyenne du fluide considéré. Dans ce procédé, il faut prendre beaucoup de précautions pour ne pas perturber l'écoulement ;
– la visualisation par fils de laine, qui consiste à les attacher à égale distance les uns des autres dans un champ d'écoulement de fluide ; par leur faible inertie, ils peuvent donner la direction de l'écoulement en chaque point mais permettent difficilement d'obtenir la forme complète des lignes de courant. Si on les colle sur une paroi, ils donnent des renseignements sur la couche limite (zone où la viscosité du gaz joue un rôle prépondérant) ;
– la méthode des ombres qui, essentiellement réservée à la visualisation d'écoulements gazeux supersoniques, consiste à faire traverser l'écoulement par un faisceau de rayons lumineux parallèles. Comme l'indice de réfraction du gaz dépend de sa densité locale, les rayons lumineux sont plus ou moins déviés, ce qui permet de reconstituer les caractéristiques de l'écoulement. Le gros avantage de cette technique est qu'elle n'introduit aucune perturbation dans l'écoulement, alors que, dans ce domaine de vitesse, toute perturbation, même minime, engendre des phénomènes parasites (ondes de choc). Le temps de réponse étant presque nul, on peut étudier des phénomènes transitoires extrêmement rapides.

Pour réaliser l'étude théorique d'un écoulement de fluide, on considère une portion élémentaire de celui-ci caractérisée par une vitesse, et on lui applique les lois générales de la mécanique. On se retrouve alors avec des équations relativement complexes (équations aux dérivées partielles non linéaires), dont la résolution se fait par des méthodes numériques, ce qui nécessite l'utilisation de puissants ordinateurs.

Les écoulements incompressibles de fluides parfaits

On appelle fluide parfait tout fluide considéré comme non visqueux. Ce modèle de fluide n'est qu'une approximation très grossière de la réalité. Mais il permet une représentation convenable de certaines régions d'écoulements réels.

La plupart des écoulements liquides peuvent être considérés comme incompressibles. Cette propriété est valable pour les gaz si la vitesse de l'écoulement est, en tout point, très faible par rapport à celle du son, ce qui revient à dire que le nombre de Mach (rapport entre la vitesse de l'écoulement et la vitesse du son) est très inférieur à 1. Dans la pratique, l'hypothèse d'écoulement incompressible est courante lorsque le nombre de Mach est inférieur à 0,3 en tout point de l'écoulement. Elle est donc très utilisée en aérodynamique pour des véhicules dont la vitesse ne dépasse pas 400 km/h.

Le théorème de Bernoulli

Ce théorème, qui a été établi en 1738 par Daniel Bernoulli, s'applique aux fluides parfaits ; il modélise correctement des écoulements de fluides réels dans des cas où l'énergie dissipée par les effets de viscosité (frottement des filets de fluide les uns contre les autres) est négligeable. Il indique que l'énergie totale d'une particule de fluide se conserve tout au long de son évolution suivant une ligne de courant de l'écoulement. L'énergie totale a essentiellement trois composantes : une énergie cinétique (liée à la vitesse de la particule), une énergie potentielle (liée à la hauteur de la particule par rapport à un référentiel donné) et une énergie de pression. Ainsi, la quantité v²/2 + gh + p/ρ reste constante le long d'un tube de courant, ce qui implique, notamment, que toute variation de vitesse le long de cette ligne doit être compensée par une variation de la pression ou par un changement d'altitude. On peut formuler le théorème de Bernoulli en termes de « charges ». En un point quelconque d'un écoulement, on appelle charge la quantité ρv²/2 + ρgh + p. Le théorème de Bernoulli exprime alors la conservation de la charge le long d'une ligne de courant. Pour les écoulements réels (visqueux), on observe toujours une diminution de la charge totale C le long de l'écoulement ; cette diminution de C s'appelle perte de charge et doit être logiquement reliée à la dissipation d'énergie due à la viscosité. Enfin, on peut aussi exprimer le théorème de Bernoulli en termes de « hauteurs ». L'expression v²/2g + h + p/ρg, où chaque terme est homogène à une hauteur, doit garder une valeur sur un tube de courant. Le premier terme s'appelle la hauteur cinétique ; il représente la hauteur à laquelle monterait un point matériel lancé vers le haut avec une vitesse v ; h est appelé la hauteur vraie. Le troisième terme est la hauteur piézométrique ; c'est celle d'une colonne statique de fluide qui exercerait alors la pression p sur sa base.

Il faut noter que le théorème de Bernoulli peut être généralisé aux écoulements non permanents ou compressibles. La formulation mathématique complexe qu'il prend dès lors nous empêche de l'aborder. De nombreux théorèmes et applications découlent directement ou indirectement de ce théorème.

Le théorème de Torricelli

Découlant du théorème de Bernoulli, le théorème de Torricelli est utile pour l'étude des applications hydrauliques comme les réservoirs ou les barrages. Si l'on pratique un trou dans un réservoir ou si l'on ouvre les vannes d'un barrage, on crée un écoulement dont le débit dépend de la différence de hauteur entre le trou pratiqué et la surface de l'eau dans le réservoir. La pression est la même au niveau du trou et à la surface du réservoir. Les particules proches de cette dernière ont une vitesse quasi nulle ; cette vitesse augmente à mesure que l'on descend vers le trou. Le théorème de Torricelli relie la vitesse de l'écoulement de l'eau par le trou pratiqué à la dénivellation entre le trou et la surface, et énonce que le carré de cette vitesse est proportionnel à cette dénivellation (v² = 2gh). On peut donc connaître la vitesse de l'eau qui va entraîner les turbines électriques d'un barrage ou estimer le temps nécessaire à la vidange du bassin.

L'effet Venturi

Dans une conduite horizontale, il n'y a pas de changement d'altitude le long des trajectoires des particules. Seule une variation de vitesse peut compenser un changement de pression (et inversement). L'effet Venturi explique que les régions de grande vitesse sont des régions de basse pression (et réciproquement).

Considérons maintenant une conduite telle que l'écoulement à l'intérieur soit unidimensionnel. S'il y a un étranglement dans cette conduite, alors la vitesse du fluide à cet endroit sera plus élevée (car le débit d'air doit rester constant), et donc la zone en question sera le siège d'une basse pression. Cette propriété est très utilisée dans les systèmes que l'on appelle dépresseurs, et qui servent à « faire le vide » (opération nécessaire dans un grand nombre d'expériences de chimie). Notons que le principe de fonctionnement des débitmètres est une application de l'effet Venturi.

Une autre application, l'« effet de sol », concerne l'automobile. Le carénage inférieur des voitures a deux effets : par sa forme étudiée, il diminue la résistance de l'air à l'avancement du véhicule ; par le rétrécissement de la section de passage sous la voiture, il y accélère la vitesse de l'écoulement, ce qui produit une baisse de pression. La pression sous la voiture étant inférieure à celle qui s'exerce au-dessus d'elle, la tenue de route est améliorée.

L'effet Magnus

Une sphère en rotation sur elle-même et à laquelle on communique une vitesse (par exemple une balle de tennis liftée) présente une trajectoire bien différente de celle d'une sphère identique lancée à la même vitesse mais sans rotation propre. À un instant donné, les filets de fluide qui s'écoulent sur un point matériel de la surface supérieure de la balle sont animés d'une vitesse relative plus faible que celle des filets de fluide qui s'écoulent sur un point de la surface inférieure. Ainsi, la vitesse de rotation de la balle est soustraite de la vitesse d'avancement ; ce qui revient à dire, d'après le théorème de Bernoulli, que la pression est plus forte au-dessus de la balle qu'en dessous ; la balle retombe plus tôt que celle qui est lancée sans rotation. Ce phénomène est appelé effet Magnus, du nom du physicien et chimiste allemand qui l'expliqua le premier.

Le tube de Pitot

Ce tube doit son nom au physicien français Henri Pitot, qui l'inventa en 1732. Il permet la mesure de la vitesse d'un courant dans un tube horizontal. L'idée consiste à introduire en un point donné de l'écoulement un obstacle solide. La pression du fluide en ce point est mesurée. Elle est égale à la pression qui régnerait dans le tube en l'absence d'obstacle plus une quantité liée à la vitesse de l'écoulement. En faisant la différence des deux pressions, on obtient la valeur de cette vitesse.

L'écoulement compressible

L'étude des écoulements compressibles suppose que l'on prenne en compte la variation de la masse volumique. Le nombre de Mach, sans dimension physique, marque le rapport entre la vitesse du fluide et la vitesse du son en un point donné. S'il est inférieur à l'unité, l'écoulement est subsonique, sinon il est supersonique ; s'il est proche de l'unité, l'écoulement est dit transsonique. Les écoulements subsonique et supersonique se comportent de manière très différente, l'écoulement transsonique étant caractérisé par des instabilités (le fameux « mur du son »).

Le passage d'un type d'écoulement à un autre se fait par l'intermédiaire d'un phénomène appelé onde de choc. Une onde de choc est une zone d'épaisseur infime marquant une discontinuité brutale des caractéristiques de l'air (pression, température et vitesse). On distingue deux types d'ondes de choc : une onde de choc droite, derrière laquelle l'écoulement redevient forcément subsonique, et une onde de choc oblique, derrière laquelle l'écoulement peut rester supersonique. Tout objet volant à une vitesse supersonique produit instantanément une onde de choc à l'avant du profil (au nez de l'avion, par exemple), où subsiste néanmoins une petite zone subsonique.

Avec l'augmentation du nombre de Mach, cette petite zone disparaît peu à peu alors que les ondes de choc se rapprochent davantage du profil. Connues dès la fin du xix^e s., les ondes de choc sont encore étudiées aujourd'hui.

La rentrée dans l'atmosphère des navettes spatiales se fait à des vitesses supérieures à cinq fois celle du son ; on parle alors de vol hypersonique. Le nombre cinq n'a rien de magique en lui-même, mais c'est à partir de cette valeur que certains phénomènes physiques comme la dissociation de l'air prennent de l'importance.

Les fluides visqueux

L'écoulement d'un fluide visqueux dans une conduite rectiligne est caractérisé par le glissement parallèle des lignes de courant les unes sur les autres : l'écoulement est alors laminaire.

Dans une conduite, l'existence d'une pression motrice entre l'entrée et la sortie du tube entraîne le liquide à une vitesse moyenne à travers le tube. Tant que cette vitesse reste inférieure à une vitesse critique, on a un écoulement lent et régulier, laminaire. On peut alors relier la perte de charge à cette vitesse ainsi qu'aux dimensions de la conduite (longueur et diamètre). Cela constitue l'extension du théorème de Bernoulli aux fluides visqueux. En revanche, lorsque la pression motrice augmente, la vitesse croît et l'écoulement entre en régime turbulent. Les vitesses dans la conduite varient de façon aléatoire.

Dans une section de conduite circulaire, les profils des courbes de vitesse moyenne par rapport au temps ne sont plus paraboliques (comme dans le cas du régime laminaire), mais prennent une forme plus aplatie. La perte de charge d'un écoulement turbulent est supérieure à celle d'un écoulement laminaire parce que s'y ajoutent des contraintes supplémentaires, appelées contraintes de Reynolds.

Plus la viscosité d'un fluide est grande, plus le régime turbulent s'établit difficilement. Le passage de l'écoulement laminaire à l'écoulement turbulent se fait à partir d'une certaine valeur de la vitesse moyenne. Le diamètre du tube dans lequel se produit l'écoulement joue également un rôle dans la transition de l'état laminaire à l'état turbulent. L'influence de ces trois grandeurs est décrite par un nombre, sans dimension physique, appelé nombre de Reynolds (Re), valant Vd/ν ; une valeur du nombre de Reynolds caractérise le type de l'écoulement. On admet que :
– si Re < 2 000, l'écoulement est laminaire ;
– si 2 000 < Re < 8 000, on a un écoulement de transition ;
– si 8 000 < Re, l'écoulement est turbulent.

Comme on le voit, l'écoulement turbulent est beaucoup moins facile à aborder par le calcul que l'écoulement laminaire, et il faut faire appel à des théories statistiques. Les recherches sur le phénomène de turbulence se poursuivent aujourd'hui tant pour la validation de modèles théoriques que dans l'étude de nombreuses applications pratiques.