homomorphisme

Application f définie d'un ensemble E muni d'une loi interne ⊤ dans un ensemble F muni d'une loi interne ⊥ telle que : ∀(x, y) ∈ E × E, f(x ⊤ y) = f(x) ⊥ f(y). [Synonyme : morphisme.]

MATHÉMATIQUES

Un homomorphisme défini de (E, ⊤) dans (F, ⊥) est surjectif (épimorphisme), injectif (monomorphisme) ou bijectif (isomorphisme) suivant que l'application f est surjective, injective ou bijective. Des propriétés de la loi ⊤ sur E, on déduit celles de la loi ⊥ définie surf(E) :
– Si E et F sont deux ensembles munis de structures algébriques homologues, alors f est un homomorphisme de E dans F si, pour les lois internes correspondantes,
∀(x, y) ∈ E × E, f(x ⊤ y) = f(x) ⊥ f(y)
et si, pour les lois externes correspondantes (Ω étant le domaine d'opérateurs communs aux deux ensembles E et F),
∀ x ∈ E et α ∈ Ω, f(αx) = α f(x).
On définit ainsi les homorphismes de groupes, d'anneaux, de corps, d'espaces vectoriels et d'algèbres. Le composé de deux homomorphismes est un homomorphisme.