groupe

Ensemble G muni d'une opération ⋆ interne dans G, associative, qui admet un élément neutre et telle que tout élément a un symétrique et un seul. [On note le groupe (G, ⋆).]

MATHÉMATIQUES

Si (G, ⋆) est un groupe, alors l'opération ⋆ vérifie :
– quels que soient x et y, éléments de G, x ⋆ y ∈ G ;
– quels que soient x, y, z, éléments de G, x ⋆ y ⋆ z = x ⋆ (y ⋆ z) = (x ⋆y) ⋆ z ;
– il existe un élément noté e de G tel que, quel que soit x, élément de G,

x ⋆ e = e ⋆ x = x

— pour tout élément x de G, il existe un élément x′ de G tel que x ⋆ x′ = x′ ⋆ x = e.

Si l'opération ⋆ est commutative, (G, ⋆) est un groupe commutatif ou abélien.

Quand l'opération ⋆ est notée additivement (+), le groupe est dit additif et le symétrique d'un élément x, ou opposé de x, se note − x et e = 0. Quand l'opération ⋆ est notée multiplicativement, le groupe est dit multiplicatif et le symétrique d'un élément x, ou inverse de x, se note x⁻¹ et e = 1.

La structure de groupe intervient souvent en mathématique et sert de base aux autres structures (anneaux, corps, etc.). Les groupes les plus courants sont, en algèbre : (ℤ, +) groupe des entiers relatifs ; (ℝ^*, ×) groupe des réels non nuls ; groupe des substitutions ; groupe de transformations ; en géométrie, groupe des translations, groupe des rotations de même centre, groupe des isométries, etc.

La théorie des groupes a joué un rôle essentiel dans l'évolution de la géométrie, ainsi que dans la résolution des équations algébriques ; elle intervient aujourd'hui de façon fondamentale dans presque toutes les branches des mathématiques modernes et en physique (cristallographie, mécanique quantique, théories des interactions entre particules fondamentales).