Ensemble des entiers naturels.

Cet ensemble est défini par les axiomes de Giuseppe Peano.
1. Dans l’ensemble ℕ existe une application f qui à tout élément x de l’ensemble ℕ associe son successeur x⁺ = f(x), unique, tel que, si deux éléments x et y de l’ensemble ℕ ont même successeur, x⁺ = y⁺, alors ils sont égaux, x = y.
2. Il existe un élément de l’ensemble ℕ, appelé zéro, noté 0, qui n’est le successeur d’aucun élément de ℕ.
3. Tout sous-ensemble de l’ensemble ℕ qui contient 0 et le successeur de chacun de ses éléments est confondu avec l’ensemble ℕ.

Le successeur de zéro existe, puisque tout nombre de l’ensemble ℕ a un successeur ; c’est le nombre 1, appelé un. Si x⁺ est le successeur de x, x est le prédécesseur de x⁺.

Tout nombre entier naturel autre que zéro a un prédécesseur unique.

En effet, le successeur de zéro est 1, 0⁺ = l, et 0 est le prédécesseur de 1. D’autre part, si n a un prédécesseur, n⁺, successeur de n, a pour prédécesseur n, etc. ; ainsi, tous les nombres qui suivent n ont un prédécesseur ; comme 1 a un prédécesseur, on prend n = 1, et tous les nombres de l’ensemble ℕ ont un prédécesseur qui est unique. En effet, s’il existait un élément n tel que n ∈ ℕ possédant deux prédécesseurs différents p et q, on ne pourrait avoir p⁺ = q⁺ = n d’après l’axiome 1.

Opérations dans ℕ

Addition

Cette opération interne pour l’ensemble ℕ peut être définie axiomatiquement d’une façon conforme à l’idée intuitive de la sommation.
∀ n et m ∈ ℕ, on pose n + 0 = n, n + m⁺ = (n + m)⁺.
On déduit de cette définition les propriétés suivantes :
n + 1 = n + 0⁺ = (n + 0)⁺ = n⁺ ou n⁺ = n + 1.
Le successeur d’un nombre est donc le suivant au sens habituel du mot. D’autre part, étant donné un entier naturel n fixé, on connaît n + 0 = n, n + 1 = n⁺ ; si M est l’ensemble des entiers m de l’ensemble ℕ pour lesquels la somme n + m est définie, c’est-à-dire calculable, la connaissance de n + m entraîne celle de
n + m⁺ = (n + m)⁺ = (n + m) + 1.
L’ensemble M est donc confondu avec l’ensemble ℕ, puisqu’il contient m + 1 dès qu’il contient m, car
(n + m) + 1 = n + (m + 1),
comme cela résulte de l’associativité de l’addition.

• Associativité de l’addition. L’égalité n + 0 = n entraîne
m + (n + 0) = m + n = (m + n) + 0.
L’égalité
m + (n + p) = (m + n) + p
est donc vraie pour p = 0. Si elle est vraie pour p, alors
m + (n + p)⁺ =
= [m + (n + p)]⁺ = [(m + n) + p]⁺ = (m + n) + p⁺.
Elle est donc vraie pour p⁺ et, par suite, pour tout entier p.

• Commutativité de l’addition. On peut la démontrer en trois étapes.
1. On a n + 0 = 0 + n ; cette égalité est vraie pour n = 0 ; si elle est vraie pour n, alors
n⁺ + 0 = n⁺ = (n + 0)⁺ = (0 + n)⁺ = 0 + n⁺.
Elle est donc vraie pour n⁺ et, par suite, pour tout entier n de l’ensemble ℕ.
2. n + 1 = 1 + n ; cette égalité est vraie pour n = 0 d’après ce qui précède ; si elle est vraie pour n, alors
n⁺ + 1 = (n + 1) + 1 = (n + 1)⁺ = (1 + n)⁺ = 1 + n⁺.
Elle est donc vraie pour tout élément n de l’ensemble ℕ.
3. n + m = m + n ; cette égalité est vraie pour n = 0 ; si elle est vraie pour m fixé et pour un certain élément n, alors
n⁺ + m = (n + 1) + m = n + (1 + m) = n + (m + 1),
car n⁺ = n + 1 ; puisque l’addition est associative,
n⁺ + m = (n + m) + 1 = (m + n) + 1 =
= m + (n + 1) = m + n⁺.
L’égalité n + m = m + n est donc vraie pour tout élément n ∈ ℕ.

Ces démonstrations reposent uniquement sur les axiomes de Peano et la définition axiomatique de l’addition.

• Régularité de l’addition. Dans l’ensemble ℕ, tout élément est régulier pour l’addition
m + n = p + n ⇔ m = p ;
dans cette double implication logique, c’est l’élément n qui est régulier.

Multiplication

On la définit axiomatiquement par
∀ n et m ∈ ℕ, n × 0 = 0 ; n × m⁺ = (n × m) + m.
Comme pour l’addition, ces définitions sont conformes à nos connaissances intuitives, et l’on construit aisément le produit de deux entiers naturels. Par exemple,
n × 1 = n × 0⁺ = n × 0 + n = 0 + n = n ou n × 1 = n.

• La multiplication est distributive à droite et à gauche par rapport à l’addition :
(m + n)p = mp + np et p(m + n) = pm + pn.

• La multiplication est associative :
a(bc) = (ab)c.

• La multiplication est commutative :
mp = pm.

• Zéro est absorbant pour la multiplication :
0 × n = 0, ∀n ∈ ℕ.

• Le produit de deux nombres non nuls est non nul ;
mn ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 et n ≠ 0
ou
mn = 0 ⇔ m = 0 ou n = 0.

• Tout nombre non nul est régulier pour la multiplication :
mn = pn ⇒ m = p,
sauf si n = 0.

• 1 est élément neutre pour la multiplication
1 × n = n.

Structure d’ordre de ℕ

On peut définir sur l’ensemble ℕ une relation d’ordre de la façon suivante :

le signe indique que n est supérieur ou égal à m, p étant un entier naturel éventuellement nul ; cette définition correspond à la notion intuitive d’inégalité : n est plus grand que m si n est égal à m augmenté d’un autre nombre. D’autre part, la relation est une relation d’ordre au sens large, c’est-à-dire qu’elle est réflexive, antisymétrique et transitive.
1. n  n puisque n = n + 0 (réflexivité).
2. n  m et m  n ⇔ n = m + p, m = n + q ⇒ n = n + p + q ⇒ p + q = 0 ⇒ p = 0 ⇒ n = m (antisymétrie).
3. n  m ⇒ n = m + p ; m  r ⇒ m = r + q ⇒ n = r + (p + q) ⇒ n  r (transitivité).