ℂ (suite)

Somme de deux nombres complexes. La somme z = z₁ + z₂ des deux nombres complexes z₁ et z₂, d’images respectives M₁ et M₂, a pour image l’extrémité M du vecteur somme géométrique des vecteurs et Ce résultat se généralise à la somme de plus de deux nombres complexes. On a l’inégalité

Produit de deux nombres complexes. Si
z₁ = ρ₁ (cos θ₁ + i sin θ₁) et z₂ = ρ₂ (cos θ₂ + i sin θ₂),
z = z₁z₂ = ρ₁ρ₂ [cos (θ₁ + θ₂) + i sin (θ₁ + θ₂)].

L’image M de z est telle que les deux triangles OAM₁ et OM₂M sont directement semblables. On généralise au produit de plusieurs nombres complexes. On a les deux relations
| z₁z₂ ... z_n | = | z₁ | | z₂ | ....... | z_n |
et
arg z₁z₂ ... z_n = arg z₁ + arg z₂ + ... + arg z_n.
Ainsi le module du produit de nombres complexes est égal au produit des modules des facteurs, et l’argument, à la somme des arguments.

Inverse d’un nombre complexe. Quotient de deux nombres complexes. L’inverse du nombre complexe z = ρ (cos θ + i sin θ) est le nombre

de module et d’argument θ′ = – θ(2π) ; on passe donc de l’image M de z à celle, M′, de z′ par le produit commutatif de l’inversion et de la symétrie d’axe Ox. Le quotient u de
z₁ = ρ₁ (cos θ₁ + i sin θ₁) et z₂ = ρ₂ (cos θ₂ + i sin θ₂),
égal à a pour module et pour argument

Racines n-ièmes d’un nombre complexe

Formule de Moivre. La puissance n-ième du nombre complexe z = cos θ + i sin θ a pour module 1ⁿ = 1 et pour argument nθ(2π) ; d’où la formule de Moivre :
(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos n θ + i sin n θ.
Appliquée par exemple au cas n = 3, elle fournit les égalités
cos 3 θ = 4 cos³ θ – 3 cos θ et sin 3 θ = 3 sin θ – 4 sin³ θ.

La racine n-ième d’un nombre complexe z = ρ (cos θ + i sin θ) est un nombre complexe u = r (cos α + i sin α) tel que uⁿ = z, donc tel que
rⁿ(cos n α + i sin n α) = ρ (cos θ + i sin θ),
d’où

avec k = 0, 1, 2, ..., n – 1.

Les images des différentes solutions sont les sommets d’un polygone régulier de n côtés, inscrits dans un cercle de rayon Si ρ = 1, r = 1 ; ces images sont sur le cercle trigonométrique de centre O et de rayon r = 1 : les racines n-ièmes de l’unité ont toutes pour module l’unité. Chacune d’elles étant donnée par

avec k = 0, 1, 2, ..., n – 1, ces racines forment un groupe multiplicatif cyclique d’ordre n
{u₀, u₁, ..., u_n–1}, avec u_n = u₀.

Racine carrée d’un nombre complexe z. Si ce nombre est donné sous la forme z = ρ (cos θ + i sin θ), u² = z si et seulement si

Les deux images sont symétriques par rapport à l’origine des axes ; les nombres u₁ et u₂ sont opposés, u₂ = – u₁.

Si le nombre complexe est donné sous la forme z = a + bi, u² = (α + βi)² = z si et seulement si

comme (α² + β²)² = (α² – β²)2 + 4 α² β² = a² + b²,
le système (1) est équivalent à

La résolution de (2) donne, par addition et soustraction,

Ces quantités sont positives quel que soit le signe de a ; d’où

ε₁ et ε₂ étant égaux à + 1 ou à – 1, de façon que le produit de ε₁ par ε₂ soit égal au signe de b, puisque 2 α β = b. On trouve alors une solution, u₁ = α₁ + β₁ i et une deuxième solution u₂ = – u₁ = – α₁ – β₁ i.

Le corps ℂ des complexes est le corps de décomposition du polynôme x² + 1, puisque x² + 1 = (x + i) . (x – i), et de tout polynôme à coefficients réels ou complexes ; un tel polynôme se décompose en effet dans ℂ en un produit de facteurs linéaires : on dit que ℂ est algébriquement clos.

E. S.

➙ Algèbre / Algébrique / Anneau / Groupe / Opération.

 J. Lelong-Ferrand et J.-M. Arnaudiès, Cours de mathématiques, t. I : Algèbre (Dunod, 1973). / E. Ramis, C. Deschamps et J. Odoux, Cours de mathématiques spéciales, t. I : Algèbre (Masson, 1974).